Fibonacci & Stern-Brocot

J'aimerais avoir le temps de suivre la discussion où il est question de
Fibonacci. Ce lirai plus tard. Je veux simplement signaler qu'il existe un
arbre intéressant, que j'avais repéré dans mon exploration de Stern-Brocot,
qui concerne davantage les suites de type Fibonacci : a, b, a+b, a+2b,
2a+3b ... Peut-être est-il déjà bien connu. Je le présente au cas où il
n'aurait pas encore été remarqué.

Voici les 4 premières couches du premier octave de l'arbre de Stern-Brocot :

6/5 9/7 11/8 10/7 11/7 13/8 12/7 9/5
5/4 7/5 8/5 7/4
4/3 5/3
3/2

Et voici la portion correspondante de cet autre arbre dont on voit qu'il
est isomorphe au premier à une permutation près à l'intérieur de chaque
couche, comme l'arbre de Stern-Brocot dans sont entier est isomorphe à
l'arbre d'Euclide à une telle permutation près :

6/5 9/5 11/7 10/7 11/8 13/8 12/7 9/7
5/4 7/5 8/5 7/4
4/3 5/3
3/2

L'intéressant de ce dernier est qu'il est réductible à cet arbre tout simple

6 9 11 10 11 13 12 9
5 7 8 7
4 5
3
(1) 2

généré par simple sommation interpolatoire. Les tons (qui ne sont plus
ordonnés selon leur largeur) prennent leur dénominateur dans une couche et
leur numérateur dans la couche suivante, juste à gauche et juste à droite.

À partir de n'importe quel noeud de cet arbre, si on grimpe en alternance,
à gauche et à droite, on obtient une suite simple de type Fibonacci. Ainsi
à partir de 7/5 on a la suite 5 7 12 19 31 50 ...

Ceci montre assez bien la corrélation des processus de génération par
Stern-Brocot et fractions continues avec ceux des suites de type Fibonacci
reliées aux nombres de type
"golden".

Pierre