Yahoo Tuning Groups Ultimate Backup tuning CHALLENGE

Bonjour

Je suis nouveau membre. Je dois écrire en français car c'est la seule
langue que je peux écrire. Mais je peux lire l'anglais.

Le début de la réponse à la question qui va suivre est

{ 5, 7, 12, 17, 29, 41, ... }

Je veux savoir si quelqu'un a déjà résolu la question (ou pourrait la
résoudre) de manière générique. L'arbre de Stern-Brocot s'avère bien utile.
La question veut entraîner une polémique au sens où j'affirme qu'on trouve
ici une grande élégance mathématique mais que c'est relativement
insignifiant sur le plan musical. Ça concerne le fameux cycle des quintes
qui a intoxiqué, à mon avis, la majorité des grandes civilisations
musicales. J'aimerais en finir avec lui.

QUELLE EST LA LONGUEUR D'UNE GAMME GÉNÉRÉE PAR LE CYCLE DES QUINTES ?

Voici quelques considérations qui peuvent aider à circonscrire le problème.
Historiquement on a connu les réponses suivantes.

- la gamme de Ling Lun possède 5 degrés

(1 9/8 81/64 3/2 27/16 2) = (0 2 4 1 3 0) où N représente 3^N mod 2

- la gamme de Pythagore comporte 7 degrés

(1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2) = (0 2 4 -1 1 3 5 0)

- Safi al-Din sélectionne des tons parmi 17 degrés qui forme une gamme

(0 -5 -10 2 -3 -8 4 -1 -6 -11 1 -4 -9 3 -2 -7 -12 0)

Soit Pn = {-n,...,n}. Exemple P3 = {-3,-2,-1,0,1,2,3}. Dans une suite de
quintes Pn il n'existe toujours que 2 tons qui ne sont pas factorisables à
l'intérieur de l'ensemble. Ce sont les tons premiers. Une gamme dans Pn est
tout parcours conjoint (sauts de tons premiers) de l'octave. Il n'y a que
des gammes de 5 degrés dans P3 et P4, dont celle de Ling Lun dans P4. En
tout, 8 gammes, car P4 inclut P3.

P3 : (+2) (+3)
/ \ / \
(0) (-1)----(+1) (0)
\ / \ /
(-3) (-2)

P4 : (+2)---(+4)---(+1)---(+3)
/ \ / \ \
(0) \ / \ (0)
\ \ / \ /
(-3)---(-1)---(-4)---(-2)

Il n'y a que des gammes de 7 degrés dans P5 et P6 qui contiennent toutes
deux la gamme de Pythagore. Voici le treillis de factorisation de P5 et ses
9 gammes.

P5 : (+2)---(+4) (+3)---(+5)
/ \ \ / \ \
(0) \ (-1)---(+1) \ (0)
\ \ / \ \ /
(-5)---(-3) (-4)---(-2)

Il n'y a que des gammes de 17 degrés de P12 à P16 qui contiennent toutes
les quatre la gamme de Safi al-Din. Voici P12 et ses 108 gammes, de façon
plus condensée.

P12 : 12 7 9 11 6 8 10 5
0 / 2 -3 4 -1 / 1 -4 3 -2 / 0
-5 -10 -8 -6 -11 -9 -7 -12

J'aurais aussi pu poser les questions suivantes dont la réponse est
strictement la même {5, 7, 12, 17, 29, ...}, mais avec décalage : Quelle
est la valeur absolue des exposants des tons premiers ou du shruti modal
unique (= micro-intervalle entre les deux seuls tons premiers) dans ces
ensembles ? Combien de degrés shrutiques y a-t-il au total dans l'octave ?
(De façon analogue au système indien, il s'agit des combinaisons des deux
seuls shrutis possibles ici, l'autre étant le shruti tonal = le plus petit
ton premier)

La réponse générique à ce problème consiste à déterminer une valeur unique,
irrationnelle, dont découle toutes les autres, et à dire comment elles en
découlent.

Pour ceux qui aiment bien jouer avec des grands nombres insignifiants,
voici un petit problème additionnel. Si je vous dis que 6017849 et 5827312
sont des valeurs successives de la suite des longueurs de gammes,

QUEL EST L'ALGORITHME TOUT SIMPLE, QUI N'UTILISE QUE DES SOUSTRACTIONS, QUI
PERMET DE TROUVER LES 72 LONGUEURS INFÉRIEURES ?

Vous pouvez trouver cet algorithme quelque part sur mon site en construction.

http://www.aei.ca/~plamothe

Quant à ceux qui voudraient connaître "tout le bien" que je pense de
Pythagore, en plus de ce qui se trouve sur mon site, je les invite à
engager la discussion.

Pierre Lamothe

🔗Pierre Lamothe <plamothe@aei.ca>

🔗Paul Erlich <PERLICH@ACADIAN-ASSET.COM>

🔗Pierre Lamothe <plamothe@aei.ca>

Paul

I will try to write in english.

You're right. The irrational value is effectively the width of the fifth
3/2 = log2(3) mod 1 and the solutions are the denominators of a series.

But the rest of the first message show why continued fractions algorithm is
insufficient to give all the solutions. Look at the factorization lattices.

Continued fractions give only a subset (like the solutions of Yves
Hellegouarch derived from commas in group theory) of the complete series :

3/2 4701/2966 24727/15601 4102173/2588183
5/3 5755/3631 25781/16266 4404167/2778720
8/5 6809/4296 50508/31867 4706161/2969257
11/7 7863/4961 75235/47468 5008155/3159794
19/12 8917/5626 125743/79335 5310149/3350331
27/17 9971/6291 176251/111202 5612143/3540868
46/29 11025/6956 301994/190537 5914137/3731405
65/41 12079/7621 478245/301739 6216131/3921942
84/53 13133/8286 780239/492276 6518125/4112479
149/94 14187/8951 1082233/682813 6820119/4303016
233/147 15241/9616 1384227/873350 7122113/4493553
317/200 16295/10281 1686221/1063887 7424107/4684090
401/253 17349/10946 1988215/1254424 7726101/4874627
485/306 18403/11611 2290209/1444961 8028095/5065164
569/359 19457/12276 2592203/1635498 8330089/5255701
1054/665 20511/12941 2894197/1826035 8632083/5446238
1539/971 21565/13606 3196191/2016572 8934077/5636775
2593/1636 22619/14271 3498185/2207109 9236071/5827312
3647/2301 23673/14936 3800179/2397646 9538065/6017849 ...

which correspond to all the ancestors of log2(3) mod 1 in Stern-Brocot tree

1-10100110001000001100000000000000000000000110010111111111111111111111111111
111 ...

The first 1 correspond to the root 3/2 and subsequent 1 and 0 correspond to
right and left branchs in ascension of the tree toward the irrational value.

--------

What is the meaning of

<< the 7-tone scale built from pure fifths is not proper >>.

Is an historical point of view, a musical point of view, or only a
mathematical point of view ?

I'm not a musician. My preoccupation is to fit calculation to facts that
seems to me well established, and not the inverse. Historically, the
Pythagore's scale of 7 degrees is the most important derivation of fifths.
Can you explain his duration over millenaries ? I can't well express my
opinion on that in english. For the moment, I suggest you look at these
figures :

http://www.aei.ca/~plamothe/pix/majmin1.gif
http://www.aei.ca/~plamothe/pix/majmin2.gif

where the tones (corresponding to Stern-Brocot tree) are splitted in major
and minor. Using the 4 best consonances give instant access to the 13 tones
of the first coherent set of tones (gammier 9) in which Zarlino's scale is
a proper mode. With mystical preoccupations of Pythagore, the most
consonant tones {5/4, 4/3, 3/2, 5/3} were identified to {81/64, 4/3, 3/2,
27/16} to fit mathematical presupposition on the number 3.

--------

The definition of "proper mode of a set of tones" or "mode in a set of
tones" distinguish, first, factorizable tones (by inferior tones in the set)
and prime tones. All the tones are prime in {9/8, 5/4, 3/2}. Only 5/4 is
factorizable in {10/9, 9/8, 5/4, 3/2}. If there exist, in a set of tones, a
chain of prime tones connecting 1 and 2, it's a proper mode of the set (by
definition). The tones (1 4/3 3/2 2) are a mode in the set {1, 9/8, 4/3, 3/2}
corresponding to the chain of prime tones 4/3 9/8 4/3.

I reserve the term "scale" for the modes of very coherent set of tones that
I name "gammier". This coherence is expressed by mathematical axioms in my
gammier theory.

--------

In the problem, I consider all the sets Pn of inversible and compact series
of power x of 3 (modulo octave) : {-n, -n+1,, -1, 0, 1,, n-1, n}. For n > 2,
all the modes of these sets are "scales" in the sense of gammier theory.
Scales are clearly exhibited in factorization lattices of gammier sets.
However, all these good macrotonal scales are completely insignificant for
microtonal point of view is neglected.

It seems to me that good scales result of balance between consonance and
coherence.

Pierre

🔗Pierre Lamothe <plamothe@aei.ca>

Paul

I connect easily continued fractions to Stern-Brocot tree with a little
variant in the formalism.

N = [a b c ... d] = a + 1/(b + 1/(c + 1 ... /(d + 1)))

where 1 is added at the end.

--------

The continued fraction for log2(3) mod 1 = [1 1 1 2 2 3 1 5 2 23 2 2 1 1
... ]. It's correlated to the number of successive 1 and 0 in the branchs
of the tree.

1-10100110001000001100000000000000000000000110010 ...

All the nodes of the Stern-Brocot tree are obtained if we take also lesser
values for the last.

[1] = 1+1 = 2/1
[1 1] = 1+1/(1+1) = 3/2
[1 1 1] = 1+1/(1+1/(1+1)) = 5/3
[1 1 1 1] = 1+1/(1+1/(1+/1+1)) = 8/5 (Ling Lun)
[1 1 1 2] = 1+1/(1+1/(1+/2+1)) = 11/7 (Pythagore)
[1 1 1 2 1] = 1+1/(1+1/(1+/2+1/(1+1))) = 19/12
[1 1 1 2 2] = 1+1/(1+1/(1+/2+1/(2+1))) = 27/17 (Safi al-Din)
[1 1 1 2 2 1] = 1+1/(1+1/(1+/2+1/(2+1/(1+1)))) = 46/29
[1 1 1 2 2 2] = 1+1/(1+1/(1+/2+1/(2+1/(2+1)))) = 65/41
[1 1 1 2 2 3] = 1+1/(1+1/(1+/2+1/(2+1/(3+1)))) = 84/53
...

The value 22 is not a solution of that problem.

--------

If we consider the values of denominator (not as degrees but) as an equal
temperament, numerator represent number of tones of 3/1 (as denominator
represent number of tones of 2/1).

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The problem of tangent circles is also correlated at this calculation.
Cf. En marge du problème des cercles tangents at

http://www.aei.ca/~plamothe/tangents.htm

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Je viens juste de voir ton dernier message. J'y répondrai plus tard. Le
malentendu tient à ceci : mes théories tiennent davantage compte de la
sémiotique que de l'acoustique ou des questions relatives à la
transposition, etc. Ce que je vise est d'établir une base solide pour
construire un logiciel qui s'occupe de ce que j'appelle les petits
problèmes afin que le créateur et l'interprète disposent d'une interface
simple pour naviguer dans des structures complexes et qu'il puisse y opérer
des transformations sophistiquées sans qu'il ait besoin de faire un
doctorat en complications inutiles.

Pierre